サンプルコード

以下2ファイルが登場します。

コード.gs（GoogleAppsScript）
dialog.html （HTML, JavaScript）

コード.gs

function main() {
  
  // dialog.html をもとにHTMLファイルを生成
  // evaluate() は dialog.html 内の GAS を実行するため（ <?= => の箇所）
  var html = HtmlService.createTemplateFromFile("dialog").evaluate();
  
  // 上記HTMLファイルをダイアログ出力
  SpreadsheetApp.getUi().showModalDialog(html, "ファイルダウンロード");
}

function getData() {
  
  // スプレッドシート上の値を二次元配列の形で取得
  var sheet = SpreadsheetApp.getActiveSheet();
  var values = sheet.getDataRange().getValues();

  // 二次元配列をCSV形式のテキストデータに変換
  var dataArray = [];
  for (var i = 0; i < values.length; i++) {
    dataArray.push(values[i].join(","));
  }
  return dataArray.join("\r\n");  // 改行コードは windows を想定
  
}

dialog.html

<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <base target="_top">
    <script type='text/javascript'>    
      function handleDownload() {
        var content = <?= getData(); ?>;  // 出力データを GAS から取得する
        var blob = new Blob([ content ], { "type" : "text/csv"});
        document.getElementById("download").href = window.URL.createObjectURL(blob);
      }
  </script>
  </head>
  <body>
    <a id="download" href="#" download="test.txt" onclick="handleDownload()">ダウンロード</a>
  </body>
</html>

実行の流れ

当サンプルコードを実行した時の流れです。

スプレッドシートに値が設定されている
スクリプトエディタよりmain()を実行すると、スプレッドシート上にファイルダウンロード用のダイアログが表示される
「ダウンロード」をクリックするとファイルがダウンロードされる
ファイルを開くとスプレッドシートの値がCSV形式で保存されている

解説

前述したように Google スプレッドシートはサーバー上に存在しているため、ローカルにファイルを直接ダウンロードすることができません。処理するためには仲介役が必要になります。ここではダイアログが仲介役となります。

プログラムの流れ

GAS側のfunction main() を実行し dialog.html を元にしたダイアログを表示します。このとき dialog.html にはGASのコードが埋め込まれており、それを実行した結果を取得するためにcreateTemplateFromFile().evaluate() としています
表示されたダイアログの「ダウンロード」をクリックすると HTML側の handleDownload() が実行され、ファイルがダウンロードされます
この時、ダウンロードするファイルの内容は <?= getData(); ?> により取得され、GAS側の function getData() が呼び出されます
function getData() ではスプレッドシート上の値をCSV形式に変換しテキストデータを返却します（改行コードはWindowsを想定し\r\nとしています）
ダウンロードされたファイルの内容を確認するとスプレッドシートの値がCSV形式でダウンロードできていることが分かります